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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Determine en cada caso el valor de la constante $a$
a) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{a x^{2}+4 x+1}-1}{x}=5$
a) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{a x^{2}+4 x+1}-1}{x}=5$
Respuesta
En principio, fijate que sin importar el valor de $a$ estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Entonces, arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:
Reportar problema
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2(a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2})}-1}{x} $
Distribuimos la raíz
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{x} $
Cancelamos la potencia con la raíz, acordate que $\sqrt{x^2} = |x|$, pero como $x$ está tendiendo a $+\infty$ (es recontra positivo), entonces $|x| = x$
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{x} $
Si distribuimos esa $x$ del denominador nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x} $
Tomamos límite:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x} = \sqrt{a} $
Buenísimo, calculamos el límite y nos dio $\sqrt{a} $. Ahora nosotros queríamos que nos diera $5$, entonces...
$ \sqrt{a} = 5$
$ a = 25$
y esa es la respuesta correcta =)